Matemática na medida certa

Olá alunos do 7º ano!

Este blog é de vocês!

Aproveitem para tirar dúvidas, postar comentários e estudar as definições postadas aqui, pois, em cada conteúdo estudado vocês encontrarão mais definições para enriquecer os seus estudos, além do livro didático.

APROVEITEM E BONS ESTUDOS!

PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

Na operação com potências, ao efetuarmos a sua resolução podemos utilizar algumas propriedades para simplificar os cálculos.

Considere a e b como números reais, m e n serão números inteiros, segue as propriedades:

Produto de potências de mesma base:

Na multiplicação, conserva-se a base e somam-se os expoentes.

Exemplos:

2² . 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵ = 32

5¹ . 5³ = 5^{1 + 3} = 5⁴ = 625

Quociente de potências de mesma base:

Na divisão, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

, supondo a ≠0

Exemplos:

12⁸ : 12⁶ = 12^{8 – 6} = 12² = 144

(-5)⁶ : (-5)² = (-5)^{6 – 2} = (-5)⁴ = 625

Produto de potências de mesmo expoente:

Na multiplicação, conserva-se o expoente e multiplicam-se as bases.

Exemplo:

3² . 6² = (3 . 6)² = 18²

Quociente de potências de mesmo expoente:

Na divisão, conserva-se o expoente e dividem-se as bases.

, supondo b ≠ 0

Exemplo:

8² : 4² = (8 : 4)² = 2²

Potência de Potência:

Para fazer o cálculo da potência de outra potência, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.

Exemplos:

(3²)³ = 3² ^{. 3} = 3⁶ = 729

(-9¹)² = (-9)¹ ^{. 2} = (-9)² = 81

Observações: As propriedades vistas anteriormente também podem ser usadas quando os expoentes forem inteiros negativos, no entanto, as bases devem ser ≠ de 0.

Potências com expoentes inteiros

Estratégia para trocar o sinal

Lembrando que o inverso de

é 8, e que este pode ser escrito na forma

, podemos afirmar que inverter um número é dar-lhe uma boa cambalhota. Assim, o inverso do

é 2 e do

, o que nos estimula a um jogo que ajudará a construir uma regra para calcularmos potências com expoentes negativos.

Inverter a base será uma estratégia para trocarmos o sinal do expoente, uma estratégia que pode ser mostrada a partir de um exemplo bem simples, com a pergunta: qual o valor de

?

Um caminho de resolução bem conhecido para esse caso é fazermos

. No entanto, se aplicarmos a propriedade da potenciação, teremos outro caminho, dado por

. Analisando esses dois caminhos, conseqüências de uma mesma pergunta, concluímos que

. Uma conclusão com uma igualdade que mostra bases invertidas e expoentes de sinais trocados.

Esse tipo de conclusão, a partir dos mais variados exemplos, conduz com bastante firmeza a uma regra: podemos trocar o sinal do expoente se, simultaneamente, invertermos a base.

Poder trocar o sinal do expoente invertendo a base facilita e agiliza o cálculo de potências com expoentes negativos. As manobras matemáticas ficam mais rápidas.

Qual o valor de

? Basta invertermos a base, que passa a ser 2, trocando simultaneamente o sinal do expoente para +3 ou 3. Assim,

é igual a

. Para finalizar os exemplos, podemos fazer mais uma pergunta: Qual é o valor de

? Respondemos com

, para logo depois fazermos

.

O sinal negativo de um expoente não passa de um código que está nos alertando que a base está invertida. Com essa nova interpretação, a regra do expoente negativo se transforma em uma regra simples e fácil de ser aplicada no jogo matemático. Mas não esqueça: foi uma propriedade que a gerou.

Potências de base 10 com expoente inteiro positivo

Potências de base 10 resultam da multiplicação de vários números 10. Portanto, sempre equivalerão à unidade seguida de tantos zeros quantos forem os indicados pelo expoente natural.
Assim, temos que:

10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1000
10⁴ = 10000
10⁵ = 100000

Potências de base 10 com expoente inteiro negativo

Convém familializar-se com as potências de base 10 e expoente negativo, pois se trata de uma notação muito utilizada em todas as expressões científicas.
Assim, vemos que:

10^{– 1} = 0,1
10 ^{– 2} = 0,01
10^{– 3} = 0,001
10 ^{– 4} = 0,0001
10 ^{– 5} = 0,00001

Existem alguns casos nos quais é mais conveniente mostrar os números na forma de notação científica, que serve para representar números muitos pequenos ou muito grandes.

Por exemplo:

O coração humano bate cerca de 110 000 000 de vezes em três anos.

No universo, existem cerca de 10 000 000 000 000 000 000 000 de estrelas.

Os números do exemplo acima podem ser escritos na forma de notação científica. Essa forma de representação utiliza números entre 1 e 10, com 1 ≤ x < 10, multiplicado por potências de 10 com expoentes inteiros.

No caso do número 110 000 000, podemos representá-lo da seguinte forma 1,1 x 10⁸, pois 10⁸ = 100 000 000.

Transformando:

Números grandes

5 000 000 → 5, 000 000
Note que a vírgula andou 6 casas para a esquerda, então esse número expresso por notação científica fica: 5 x 10⁶.

Números pequenos

0, 000 000 0021 → 2,1
A vírgula avançou 9 casa para a direita, então esse número será expresso pela notação científica:

2,1 x 10^–9.

Obs.:
Número grande: o expoente aumenta.
Número pequeno: o expoente diminui.

Veja mais alguns exemplos de números na forma de notação científica:

a) 120 000 000 000 000 000 000 = 1,2 x 10²⁰
b) 0, 000 000 098 = 9,8 x 10^–8
c) 512 000 000 000 = 5,12 x 10¹¹
d) 0, 000 000 000 000 000 000 000 023 = 2,3 x 10^–23